O módulo de um número x é o valor absoluto de x.
O módulo de $x$ é representado por $\lvert x \rvert $ e é obtido por $\sqrt{(\text{x}^2)}$.
$$ \left\{
\begin{array}{l}
{\lvert x \rvert = x \text{ se } x \geq 0 \\
\text {ou}\\
\lvert x \rvert = -x \text{ se } x < 0}
\end{array}
\right.$$
Isso significa que:
I - o módulo de um número não negativo corresponde a ele mesmo;
II - o módulo de um número negativo corresponde ao oposto desse número;
Exemplo I
$\lvert 2 \rvert = \sqrt{(2)^2} = \sqrt{4} = 2 $
Exemplo II
$\lvert -5 \rvert = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $
Exemplo III
$\lvert 0 \rvert = \sqrt{(0)^2} = \sqrt{0} = 0 $
Propriedade I
O módulo de qualquer número real é maior ou igual a zero.
$$\lvert x \rvert \geq 0, \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Exemplo I
$\lvert 2 \rvert = 2 \\
2 \geq 0 $
Exemplo II
$\lvert -5 \rvert = 5 \\
5 \geq 0 $
Exemplo III
$\lvert -12 \rvert = 12 \\
12 \geq 0 $
Propriedade II
O módulo de um número só será zero se e somente se esse número for zero.
$$\lvert x \rvert = 0 \Longleftrightarrow x = 0 $$
Exemplo I
$\lvert 4 \rvert = 4 \\
4 \neq 0 $
Exemplo II
$\lvert -5 \rvert = 5 \\
-5 \neq 0 $
Exemplo III
$\lvert 0 \rvert = 0$
Propriedade III
O produto de dois módulos é igual ao módulo do produto dos números envolvidos para quaisquer números reais.
$$\lvert x \rvert \cdot \lvert y \rvert = \lvert x \cdot y \rvert \\
\forall x, y \in \mathbb{R}$$
Exemplo I
$\lvert 2 \rvert \cdot \lvert 3 \rvert = 2 \cdot 3 = 6\\
\lvert 2 \cdot 3 \rvert = \lvert 6 \rvert = 6\\
\ \\
\lvert 2 \rvert \cdot \lvert 3 \rvert = \lvert 2 \cdot 3 \rvert$
Exemplo II
$\lvert -4 \rvert \cdot \lvert 5 \rvert = 4 \cdot 5 = 20\\
\lvert -4 \cdot 5 \rvert = \lvert -20 \rvert = 20\\
\ \\
\lvert -4 \rvert \cdot \lvert 5 \rvert = \lvert -4 \cdot 5 \rvert$
Exemplo III
$\lvert -6 \rvert \cdot \lvert -4 \rvert = 6 \cdot 4 = 24\\
\lvert -6 \cdot -4 \rvert = \lvert -24 \rvert = 24\\
\ \\
\lvert -6 \rvert \cdot \lvert -4 \rvert = \lvert -6 \cdot -4 \rvert$
Propriedade IV
O quadrado do módulo de um número real é igual ao quadrado desse número.
$$\lvert x \rvert ^2 = x^2, \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Exemplo I
$\lvert 5 \rvert ^2 = \left( \sqrt{(5)^2} \right)^2 =\left( \sqrt{25} \right)^2 = (5)^2 =25 \\
(5)^2 = 25$
Exemplo II
$\lvert -6 \rvert ^2 = \left( \sqrt{(-6)^2} \right)^2 =\left( \sqrt{36} \right)^2 = (6)^2 =36 \\
(-6)^2 = 36$
Exemplo III
$\lvert -4 \rvert ^2 = \left( \sqrt{(-4)^2} \right)^2 =\left( \sqrt{16} \right)^2 = (4)^2 =16 \\
(-4)^2 = 16$
Propriedade V
O módulo da soma de dois números reais é menor ou igual a soma dos módulos desses números.
$$\lvert x + y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \\
\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Exemplo I
$\lvert 2 + 3 \rvert = \lvert 5 \rvert = 5\\
\lvert 2 \rvert + \lvert 3 \rvert = 2+3 =5 \\
5 \leq 5$
Exemplo II
$\lvert -4 + 5 \rvert = \lvert 1 \rvert = 1\\
\lvert -4 \rvert + \lvert 5 \rvert = 4+5 =9 \\
1 \leq 9$
Exemplo III
$\lvert -6 + 8 \rvert = \lvert 2 \rvert = 2\\
\lvert -6 \rvert + \lvert 8 \rvert = 6+8 =14 \\
2 \leq 14$
Propriedade VI
O módulo da subtração de dois números reais é maior ou igual a subtração dos módulos desses números.
$$\lvert x - y \rvert \geq \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \\
\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Exemplo I
$\lvert 7 - 3 \rvert = \lvert 4 \rvert = 4\\
\lvert 7 \rvert - \lvert 3 \rvert = 7-3 =4 \\
4 \geq 4$
Exemplo II
$\lvert -6 - 3 \rvert = \lvert -9 \rvert = 9\\
\lvert -6 \rvert - \lvert 3 \rvert = 6-3 =3 \\
9 \geq 3$
Exemplo III
$\lvert -10 - 5 \rvert = \lvert -15 \rvert = 15\\
\lvert -10 \rvert - \lvert 5 \rvert = 10-5 =5 \\
15 \geq 5$
Propriedade VII
O módulo de um número $x$ será menor ou igual a um número positivo e não nulo $a$ se, e somente se, este número $x$ estiver compreendido entre $-a$ e $a$.
$$\lvert x \rvert \leq a \ \text{ e } \text{ } a > 0 \Longleftrightarrow -a \leq x \leq a$$
Exemplo I
$\lvert -4 \rvert \leq 6 \\
-6 \leq 4 \leq 6$
Exemplo II
$\lvert 7 \rvert \leq 7 \\
-7 \leq 7 \leq 7$
Exemplo III
$\lvert 5 \rvert \geq 3 \\
3 \leq 5$
Propriedade VIII
O módulo de um número $x$ será maior ou igual a um número positivo e não nulo $a$ se, e somente se, este número $x$ for menor ou igual ao oposto de $a$ ou maior ou igual ao número $a$ .
$$\lvert x \rvert \geq a \ \text{ e} \ \text{ }a > 0 \Longleftrightarrow x \leq -a \ \text{ ou} \ \ x \geq a$$
Exemplo I
$\lvert -8 \rvert \geq 6 \\
-8 \leq -6$
Exemplo II
$\lvert 6 \rvert \geq 2 \\
6 \geq 2$
Exemplo III
$\lvert -5 \rvert \leq 6 \\
-6 \leq 5 \leq 6$