Divisibilidade por 1

Todo número é divisível por 1.
Todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo.
É possível afirmar que não existe número natural que não possa ser dividido pelo número um.

Exemplo I
50 é divisível por 1.

Exemplo II
12 é divisível por 1.

Exemplo III
N é divisível por 1 onde N representa um número natural.

Divisibilidade por 2

Todo número que possui o último dígito par é divisível por 2.

Exemplo I
O número 286 é divisível por 2. Possui o último dígito par.

Exemplo II
O número 9826154 é divisível por 2. Possui o último dígito par.

Exemplo III
O número 1745 não é divisível por 2. Não possui o último dígito par.

Divisibilidade por 3

Um número será divisível por 3 quando a soma sucessiva dos algarismos resultar em um número múltiplo de 3.

Exemplo I
912 é divisível por 3, pois:
$9+1+2=12$
Para que 912 seja divisível por 3 é necessário que 12 seja divisível por 3, então:
$1+2 =3$
3 é múltiplo de 3, (3 = 3 $\cdot$ 1), portanto, 12 e 912 são divisíveis por 3.

Exemplo II
77.124 é divisível por 3, pois:
$7+7+1+2+4=21$
Para que 77124 seja divisível por 3 é necessário que 21 seja divisível por 3, então:
$2+1 =3$
3 é múltiplo de 3, (3 = 3 $\cdot$ 1), portanto, 21 e 77124 também são divisíveis por 3.

Exemplo III
82 não é divisível por 3, pois:
$74 = 11$
Para que $82$ seja divisível por 3 é necessário que 11 seja divisível por 3, então:
$1+1=2$
2 não é múltiplo de 3, portanto, 11 e 82 não são divisíveis por 3.

Divisibilidade por 4

Um número será divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formarem um múltiplo de 4.
Os múltiplos do número 4 que possuem dois algarismos são: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 e 96.

Exemplo I
19.827.412 é divisível por 4. Seus últimos dois algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

Exemplo II
198248578136 é divisível por 4. Seus últimos dois algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

Exemplo III
19283423 não é divisível por 4. Seus últimos dois algarismos não formam um número que é múltiplo de 4.

Divisibilidade por 5

Um número será divisível por 5 quanto seu último algarismo for 0 ou 5.

Exemplo I
900 é divisível por 5. Seu último algarismo é 0.

Exemplo II
2715 é divisível por 5. Seu último algarismo é 5.

Exemplo III
213 não é divisível por 5. Seu último algarismo não é nem 0 e nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número será divisível por 6 quando esse número for par e a soma sucessiva dos seus algarismos resultar em um número múltiplo de 3.
Em resumo, um número será divisível por 6 quando for divisível por 3 e por 2 ao mesmo tempo.

Exemplo I
2.250 é divisível por 6, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 3. Possui a soma dos algarismos divisível por 3.

Exemplo II
18 é divisível por 6, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 3. Possui a soma dos algarismos divisível por 3.

Exemplo III
15 não é divisível por 6, pois:
Não é divisível por 2. Não possui o último dígito par.
É divisível por 3. Possui a soma dos algarismos divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número será divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resultar em um número múltiplo de 7.

Exemplo I
3.045 é divisível por 7, pois:
$304-(5 \cdot 2) \\ = 304 -10 \\ = 294$

3045 será divisível por 7 se 294 também for divisível por 7.
$29-(4 \cdot 2) \\ = 29 -8 \\ = 21$

21 é múltiplo de 7 (21 = $3 \cdot 7$), portanto, 294 e 3045 são divisíveis por 7.

Exemplo II
2.331 é divisível por 7, pois:
$233-(1 \cdot 2) \\ = 233 -2 \\ = 231$

2.331 será divisível por 7 se 231 também for divisível por 7.
$23-(1 \cdot 2) \\ = 23 -2 \\ = 21$

21 é múltiplo de 7 (21 = $3 \cdot 7$), portanto, 231 e 2331 são divisíveis por 7.

Exemplo III
887 não é divisível por 7, pois:
$88-(7 \cdot 2) \\ = 88 -14 \\ = 74$

Como 74 não é múltiplo de 7, o número 887 não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número será divisível por 8 quando:
O antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos algarismos formarem um número múltiplo de 8;
O antepenúltimo algarismo for ímpar e os dois últimos algarismos formarem um número que seja múltiplo de 4 mas não seja múltiplo de 8.

Exemplo I
182.272 é divisível por 8. Seu antepenúltimo algarismo é par e seus dois últimos algarismos são multiplos de 8 $(72 = 8 \cdot 9)$

Exemplo II
876.532.320 é divisível por 8. Seu antepenúltimo algarismo é ímpar e seus dois últimos algarismos são multiplos de 4 $(20 = 4 \cdot 5)$ e não são múltiplos de 8.

Exemplo III
98.615 não é divisível por 8. Seu antepenúltimo algarismo é par e seus dois últimos algarismos não são multiplos de 8.

Divisibilidade por 9

Um número será divisível por 9 quando a soma absoluta dos seus algarismos resultar em um múltiplo de 9.

Exemplo I
$1.345.671$ é divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9 $(1+3+4+5+6+7+1 = 27 \\ 27 = 9 \cdot 3)$.

Exemplo II
8.426.358 é divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9 $(8+4+2+6+3+5+8 = 36 \\ 36 = 9 \cdot 4)$.

Exemplo III
30692 não é divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos não resulta em um múltiplo de 9. $(3+0+6+9+2 = 20)$.

Divisibilidade por 10

Um número será divisível por 10 quanto seu último algarismo for 0.

Exemplo I
1.029.840 é divisível por 10. Seu último algarismo é 0.

Exemplo II
817.264.510 é divisível por 10. Seu último algarismo é 0.

Exemplo III
128.837 não é divisível por 10. Seu último algarismo não é 0.

Divisibilidade por 11

Um número será divisível por 11 quando a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que se obtenha um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11.

Exemplo I
9.614 é divisível por 11, pois:
$961 - 4 = 957 \\ 95 -7=88 $

Exemplo II
964.205 é divisível por 11, pois:
$96420-5 =96415 \\ 9641-5 = 9636 \\ 963-6 = 957 \\ 95-7 = 88$

Exemplo III
982.716 não é divisível por 11, pois:
$ 98271-6 = 98265 \\ 9826-5 = 9821 \\ 982-1 = 981 \\ 98-1 = 97$

Divisibilidade por 12

Um número será divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Exemplo I
4.152 é divisível por 12, pois:
É divisível por 3. A soma de seus algarismos resulta em um número divisível por 3.
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

Exemplo II
38.952 é divisível por 12, pois:
É divisível por 3. A soma de seus algarismos resulta em um número divisível por 3.
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

Exemplo III
1.916 não é divisível por 12, pois:
Não é divisível por 3. A soma de seus algarismos não resulta em um número divisível por 3.
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

Divisibilidade por 13

Um número será divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo resultar em um número múltiplo de 13.

Exemplo I
2.938 é divisível por 13, pois:
$293 + (4 \cdot 8) \\ = 293 +32 \\ = 325$

Para que 2.938 seja divisível por 13, o número 325 também deve ser divisível por 13.
$32 + (4 \cdot 5) \\ = 32+20 \\ = 52$

Como 52 é múltiplo de 13 $(52 = 13 \cdot 4)$, então, 235 e 2.938 são divisíveis por 13.

Exemplo II
12.805 é divisível por 13, pois:
$1280 + (4 \cdot 5) \\ = 1280 +20 \\ = 1300$

Para que 12.805 seja divisível por 13, o número 1.300 também deve ser divisível por 13.
$130 + (4 \cdot 0) \\ = 130+0 \\ = 130$

Para que 12.805 e 1.300 sejam divisíveis por 13, o número 130 também deve ser divisível por 13.
$13 + (4 \cdot 0) \\ = 13+0 \\ = 13$

Como 13 é múltiplo de 13 $(13 = 13 \cdot 1)$, então, 12.805, 1.300 e 130 são divisíveis por 13.

Exemplo III
15.876 não é divisível por 13, pois:
$1587 + (4 \cdot 6) \\ = 1587 +24 \\ = 1611$

Para que 15.876 seja divisível por 13, o número 1611 também deve ser divisível por 13.
$161 + (4 \cdot 1) \\ = 161+4 \\ = 165$

Para que 15.876 e 1.611 sejam divisíveis por 13, o número 165 também deve ser divisível por 13.
$16 + (4 \cdot 5) \\ = 16+20 \\ = 36$

Como 36 não é múltiplo de 13, os números 15.876, 1.611 e 165 não são divisíveis por 13.

Divisibilidade por 14

Um número será divisível por 14 quando for divisível por 7 e por 2 ao mesmo tempo.

Exemplo I
537.824 é divisível por 14, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo II
92.372 é divisível por 14, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo III
249.893 não é divisível por 14, pois:
Não é divisível por 2. Não possui o último dígito par.
É divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Divisibilidade por 15

Um número será divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Exemplo I
1.478.205 é divisível por 15, pois:
É divisível por 3. A soma dos seus algarismos resultam em um número múltiplo de 3.
É divisível por 5. Possui 5 como último algarismo.

Exemplo II
98.610 é divisível por 15, pois:
É divisível por 3. A soma dos seus algarismos resultam em um número múltiplo de 3.
É divisível por 5. Possui 0 como último algarismo.

Exemplo III
1.979.613 não é divisível por 15, pois:
É divisível por 3. A soma dos seus algarismos resultam em um número múltiplo de 3.
Não divisível por 5. Não possui nem 5 nem 0 como último algarismo.

Divisibilidade por 16

Um número será divisível por 16 quando os últimos quatro algarismos formarem um número múltiplo de 16.

Exemplo I
121.392 é divisível por 16. Seus quatro últimos dígitos formam um número múltiplo de 16.

Exemplo II
1.231.216 é divisível por 16. Seus quatro últimos dígitos formam um número múltiplo de 16.

Exemplo III
276.214 não é divisível por 16. Seus quatro últimos dígitos não formam um número múltiplo de 16.

Divisibilidade por 17

Um número será divisível por 17 quando, ao realizar a diferença entre esse número sem o último algarismo e o último algarismo multiplicado por 5 resultar em um número múltiplo de 17.

Exemplo I
1.479 é divisível por 17, pois:
$147 - (5 \cdot 9) \\ = 147-45\\ =102$

$102 = 17 \cdot 6$, portanto, o número 1.479 é divisível por 17.

Exemplo II
16.779 é divisível por 17, pois:
$1677 - (5 \cdot 9) \\ = 1677-45\\ = 1632$

Para que 16.779 seja divisível por 17 é necessário que 1.632 também seja divisível por 17
$163 - (5 \cdot 2) \\ = 163-10\\ = 153$

$153 = 17 \cdot 9$, portanto, os números 16.779 e 1.632 são divisíveis por 17.

Exemplo III
876 não é divisível por 17, pois:
$87 - (5 \cdot 6) \\ = 87-30\\ = 57$

57 não é múltiplo de 17, portanto, 876 não é divisível por 17.

Divisibilidade por 18

Um número será divisível por 18 quando esse número for divisível por 2 e 9 simultâneamente.

Exemplo I
3528 é divisível por 18, pois:
É divisível por 9.Possui o último dígito par.
É divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.

Exemplo II
19782 é divisível por 18, pois:
É divisível por 2.Possui o último dígito par.
É divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.

Exemplo III
16216 não é divisível por 18, pois:
É divisível por 2.Possui o último dígito par.
É divisível por 9. A soma absoluta dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.

Divisibilidade por 19

Um número será divisível por 19 quando a soma entre esse número sem o último algarismo e o dobro do último algarismo resultar em um número múltiplo de 19.

Exemplo I
1.235 é divisível por 19, pois:
$123 + (2 \cdot 5) \\ = 123+10\\ = 133$

Para que 1.235 seja divisível por 19 é necessário que 133 também seja divisível por 19.
$13 + (2 \cdot 3) \\ = 13+3\\ = 19$

$19 = 19 \cdot 1$, portanto, os números 1.235 e 133 são divisíveis por 19.

Exemplo II
16.568 é divisível por 19, pois:
$1656 + (2 \cdot 8) \\ = 1656+16\\ =1672$

Para que 16.568 seja divisível por 19 é necessário que 1.672 também seja divisível por 19.
$167 + (2 \cdot 2) \\ = 167+4\\ =171$

Para que 16.568 e 1.672 sejam divisíveis por 19 é necessário que 171 também seja divisível por 19.
$17 + (2 \cdot 1) \\ = 17+2\\ =19$

$19 = 19 \cdot 1$, portanto, os números 16.568 e 1.672 são divisíveis por 19.

Exemplo III
$1.124$ não é divisível por $19$, pois:
$112 + (2 \cdot 2) = 112+4=116$
Para que 1.124 seja divisível por 19 é necessário que 116 também seja divisível por 19.
$11 + (2 \cdot 6) = 11+12=23$
Como 23 não é múltiplo de 19, os números 1.124 e 116 não são divisíveis por 19.

Divisibilidade por 20

Um número será divisível por 20 quando possuir o antepenúltimo algarismo par e for divisível por 10.

Exemplo I
1.872.980 é divisível por 10, pois:
Possui o antepenultimo algarismo par.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Exemplo II
87.240 é divisível por 10, pois:
Possui o antepenultimo algarismo par.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Exemplo III
25.567.890 não é divisível por 10, pois:
Não possui o antepenultimo algarismo par.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Divisibilidade por 21

Um número será divisível por 21 quando for divisível por 3 e por 7 ao mesmo tempo.

Exemplo I
6.342 é divisível por 21, pois:
É divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos correspondente a um múltiplo de 3.
É divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo II
4.179 é divisível por 21, pois:
É divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos correspondente a um múltiplo de 3.
É divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo III
3.384 não é divisível por 21, pois:
É divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos correspondente a um múltiplo de 3.
Não é divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos não resulta em um número múltiplo de 7.

Divisibilidade por 22

Um número será divisível por 22 quando for divisível por 2 e por 11 ao mesmo tempo.

Exemplo I
23.892 é divisível por 21, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 11. A diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que se obtenha um número com 2 algarismos resulta em um múltiplo de 11.

Exemplo II
2.174.128 é divisível por 21, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
É divisível por 11. A diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que se obtenha um número com 2 algarismos resulta em um múltiplo de 11.

Exemplo III
23.648 não é divisível por 21, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par.
Não é divisível por 11. A diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que se obtenha um número com 2 algarismos não resulta em um múltiplo de 11.

Divisibilidade por 23

Um número será divisível por 23 quando a soma entre esse número sem o último algarismo com o héptuplo (7 vezes) do último algarismo resultar em um número múltiplo de 23.

Exemplo I
1.242 é divisível por 23, pois:
$124 + (7 \cdot 2) \\ = 124+14\\ =138$

Para que 1.242 seja divisível por 23 é necessário que 138 também seja divisível por 23.
$13 + (7 \cdot 8) \ = 13+56\ =69$

$69 = 23 \cdot 3$, portanto, os números 1.242 e 138 são divisíveis por 23

Exemplo II
6.348 é divisível por 23, pois:
$634 + (7 \cdot 8) \\ = 634+56\\ =690$

Para que 6.348 seja divisível por 23 é necessário que 690 também seja divisível por 23.
$69 + (7 \cdot 0) \\ = 69+0\\ =69$

$69 = 23 \cdot 3$, portanto, os números 6.348 e 690 são divisíveis por 23.

Exemplo III
982 não é divisível por 23, pois:
$98 + (7 \cdot 2) \\ = 98+14\\ =112$

Para que 982 seja divisível por 23 é necessário que 112 também seja divisível por 23.
$11 + (7 \cdot 2) \\ = 11+14\\ =25$

25 não é múltiplo de 23, portanto, os números 982 e 112 não são divisíveis por 23.

Divisibilidade por 24

Um número será divisível por 24 quando for divisível por 3 e por 8 simultâneamente.

Exemplo I
239.280 é divisível por 24, pois:
É divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos correspondente a um múltiplo de 3.
É divisível por 8. O antepenúltimo algarismo é par e os dois últimos algarismos formam um número múltiplo de 8.

Exemplo II
2.371.776 é divisível por 24, pois:
É divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos correspondente a um múltiplo de 3.
É divisível por 8. O antepenúltimo algarismo é ímpar e os dois últimos algarismos formarem um número que seja múltiplo de 4 mas não seja múltiplo de 8.

Exemplo III
22.376 não é divisível por 24, pois:
Não é divisível por 3. Possui a soma sucessiva dos algarismos diferente de um número que não é múltiplo de 3.
É divisível por 8. O antepenúltimo algarismo é ímpar e os dois últimos algarismos formarem um número que seja múltiplo de 4 mas não seja múltiplo de 8.

Divisibilidade por 25

Um número será divisível por 25 quando seus dois últimos algarismos forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplo I
102.350 é divisível por 25. Seus últimos dois algarismos formam o número 50.

Exemplo II
214.564.1500 é divisível por 25. Seus últimos dois algarismos formam o número 00.

Exemplo III
182.345 não é divisível por 25. Seus últimos dois algarismos não correspondem a 00, 25, 50 e nem a 75.

Divisibilidade por 26

Um número será divisível por 25 quando for divisível por 2 e por 13 ao mesmo tempo.

Exemplo I
22.984 é divisível por 26, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par. É Divisível por 13. O quádruplo do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo resulta em um número múltiplo de 13.

Exemplo II
217.698 é divisível por 26, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par. É Divisível por 13. O quádruplo do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo resulta em um número múltiplo de 13.

Exemplo III
20.720 não é divisível por 26, pois:
É divisível por 2. Possui o último dígito par. Não é Divisível por 13. O quádruplo do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo não resulta em um número múltiplo de 13.

Divisibilidade por 27

Um número será divisível por 27 quando a soma sucessiva dos seus algarismos resultarem 9.

Exemplo I
27.729 é divisível por 27. A soma sucessiva dos seus algarismos resulta em 9.

Exemplo II
225.747 é divisível por 27. A soma sucessiva dos seus algarismos resulta em 9.

Exemplo III
23.896 não é divisível por 27. A soma sucessiva dos seus algarismos não resulta em 9.

Divisibilidade por 28

Um número será divisível por 28 quando for divisível por 4 e por 7 ao mesmo tempo.

Exemplo I
11.564 é divisível por 28, pois:
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4. É Divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo II
265.608 é divisível por 28, pois:
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4. É Divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta em um número múltiplo de 7.

Exemplo III
154.928 não é divisível por 28, pois:
É divisível por 4. Seus dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4. Não é Divisível por 7. A diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos não resulta em um número múltiplo de 7.

Divisibilidade por 29

Um número será divisível por 29 quando a soma entre esse número sem o último algarismo e o triplo (3 vezes) do último algarismo resultar em um número múltiplo de 29.

Exemplo I
$10.585$ é divisível por 29 pois
$1058 + (3 \cdot 5) \\ = 1058+15\\ =1073$

Para que $10.585$ seja divisível por $29$ é necessário que $1.073$ também seja divisível por $29$
$107 + (3 \cdot 3) \\ = 107+9\\ =116$

$116 = 29 \cdot 4$. Portanto, $10.585$ e $1.073$ são divisíveis por $29$

Exemplo II
$667$ é divisível por 29 pois
$66 + (3 \cdot 7) \\ = 66+21\\ =87$

$87 = 29 \cdot 3$. Portanto, $667$ é divisível por $29$

Exemplo III
$2.981$ não é divisível por 29 pois
$298 + (3 \cdot 1) \\ = 298+3\\ =301$

Para que $2.981$ seja divisível por $29$ é necessário que $301$ também seja divisível por $29$
$30 + (3 \cdot 1) \\ = 30+3\\ =33$

Como 33 não é múltiplo de $29$, os números $2.981$ e $301$ não são divisíveis por $29$

Divisibilidade por 30

Um número será divisível por 30 quando for divisível por 3 e por 10 ao mesmo tempo.

Exemplo I
165.840 é divisível por 10, pois:
É divisível por 3. A soma sucessiva dos algarismos resulta em um número múltiplo de 3.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Exemplo II
865.350 é divisível por 10, pois:
É divisível por 3. A soma sucessiva dos algarismos resulta em um número múltiplo de 3.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Exemplo III
252.130 não é divisível por 10, pois:
Não é divisível por 3. A soma sucessiva dos algarismos não resulta em um número múltiplo de 3.
É divisível por 10. Seu ultimo algarismo é 0.

Divisibilidade por 31

Um número será divisível por 31 quando a soma entre esse número sem o último algarismo e o triplo (3 vezes) do último algarismo resultar em um número múltiplo de 31.

Exemplo I
10.695 é divisível por 31 pois
$1069 - (3 \cdot 5) \\ = 1069-15\\ =1054$

Para que $10.695$ seja divisível por $31$ é necessário que $1.054$ também seja divisível por $31$
$105 - (3 \cdot 4) \\ = 105-12\\ =93$

Como 93 é múltiplo de $31$ $(93 = 31 \cdot 3)$, os números 10.695 e 1.054 são divisíveis por 31

Exemplo II
1.674 é divisível por 31 pois
$167 - (3 \cdot 4) \\ = 167-12\\ =1.55$

Como 155 é múltiplo de 31 $(155 = 31 \cdot 5)$, o número 1.674 é divisível por 31

Exemplo III
1.234 não é divisível por 31 pois
$123 - (3 \cdot 4) \\ = 123-12\\ =111$

Como 111 não é múltiplo de 31, o número 1.234 não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número será divisível por 49 quando a soma entre esse número sem o último algarismo e o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo resultar em um número múltiplo de 49.

Exemplo I
322.861 é divisível por 49, pois:
$32286+(5 \cdot 1) = 32286 +5 = 32291$

Para que 322.861 seja divisível por 49 é necessário que 32291 também seja divisível por 49:
$3229+(5 \cdot 1) = 3229 +5 = 3234$

Para que 322.861 e 32291 sejam divisíveis por 49 é necessário que 3234 também seja divisível por 49
$323+(5 \cdot 4) = 323 +20 = 343$

Para que 322.861, 32291 e 3234 sejam divisíveis por 49 é necessário que 343 também seja divisível por 49:
$34+(5 \cdot 3) \ = 34 +15 \ = 49$

Como 49 é múltiplo de 49 $(49 = 49 \cdot 1)$, os números 322.861, 32.291, 3.234 e 343 são divisíveis por 49.

Exemplo II
588 é divisível por 49, pois:
$58+(5 \cdot 8) \\ = 58 +40 \\ = 98$

Como 98 é múltiplo de 49 $(98 = 49 \cdot 2)$, o número 588 é divisível por 49.

Exemplo III
129 não é divisível por 49, pois:
$12+(5 \cdot 9) \\ = 12 +45 \\ = 57$

Como 57 não é múltiplo de 49, o número 129 não é divisível por 49.