Racionalizar o denominador de uma fração é encontrar uma fração equivalente com um denominar racional que substitua a fração que possui denominador irracional.
A racionalização de denominadores é o ato que consiste em retirar uma raíz do denominador de uma fração para que esse denominador seja expresso por um número real.

Raiz quadrada no denominador

Para racionalizar uma fração que possua no denominador uma raiz quadrada, basta multiplicar o numerador e o denominador pela raiz do denominador. $$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} $$

Exemplo I
$\displaystyle \frac{y}{\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{y}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y^2}}= \frac{y\sqrt{y}}{y}= \sqrt{y} \\ \displaystyle \frac{y}{\sqrt{y}} = \sqrt{y} $

Exemplo II
$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}} =\frac{2\sqrt{x}}{x} \\ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{x} $

Exemplo III
$\displaystyle \frac{3}{\sqrt{xy}} \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{xy}} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{3\sqrt{xy}}{\sqrt{(xy)^3}} =\frac{3\sqrt{xy}}{xy} \\ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{xy}} = \frac{3\sqrt{xy}}{xy}$

Raiz não quadrada no denominador

Para racionalizar uma fração que possui uma raiz não quadrado no denominador, é necessário multiplicar o numerador e o denominador pela raiz do denominador da fração seguindo a regra: $$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[m]{x^n}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[m]{x^n}} \cdot \frac{\sqrt[m]{x^p}}{\sqrt[m]{x^p}}$$ onde $n + p = m$, ou seja, para racionalizar uma fração com denominar de raiz não quadrada, é necessário multiplicar o numerador e o denominador pela raiz presente no denominador da raiz desde que a soma dos expoentes dos radicandos dos denominadores seja igual ao expoente da raiz.

Exemplo I
$\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x \cdot x^2}} = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[\cancel{3}]{x^\cancel{3}}}= \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}} =\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $

Exemplo II
$\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2 \cdot x}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[\cancel{3}]{x^\cancel{3}}}= \frac{\sqrt[3]{x}}{x} \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} =\frac{\sqrt[3]{x}}{x} $

Exemplo III
$\displaystyle \require{cancel} \frac{10}{\sqrt[7]{x^5}} \Rightarrow \frac{10}{\sqrt[7]{x^5}} \cdot \frac{\sqrt[7]{x^2}}{\sqrt[7]{x^2}} = \frac{10\sqrt[7]{x^2}}{\sqrt[3]{x^5 \cdot x^2}} = \frac{10\sqrt[7]{x^2}}{\sqrt[\cancel{7}]{x^\cancel{7}}}= \frac{10\sqrt[7]{x^2}}{x} \\ \displaystyle \frac{10}{\sqrt[7]{x^5}} =\frac{10\sqrt[7]{x^2}}{x} $

Soma ou diferença de quadrados no denominador

Quando houver uma soma ou subtração envolvendo raizes no denominador de uma fração é possível racionalizar essa fração com o princípio de produtos notáveis. $$\displaystyle \frac{1}{x+\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{1}{x+\sqrt{y}} \cdot \frac{x-\sqrt{y}}{x-\sqrt{y}} = \frac{x-\sqrt{y}}{(x)^2 - (\sqrt{y})^2} \\ \ \\ ou \\ \ \\ \displaystyle \frac{1}{x-\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{1}{x-\sqrt{y}} \cdot \frac{x+\sqrt{y}}{x+\sqrt{y}} = \frac{x+\sqrt{y}}{(x)^2 - (\sqrt{y})^2} $$

Exemplo I
$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{x}} \cdot \frac{2-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}} = \frac{2-\sqrt{x}}{(2)^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{2-\sqrt{x}}{4 - \sqrt[\cancel{2}]{x^\cancel{2}}} = \frac{2-\sqrt{x}}{4 - x} \\ \displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{x}} = \frac{2-\sqrt{x}}{4 - x} $

Exemplo II
$\displaystyle \frac{10}{1-\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{10}{1-\sqrt{y}} \cdot \frac{1+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} = \frac{10+10\sqrt{y}}{(1)^2-(\sqrt{y})^2} =\frac{10+10\sqrt{y}}{1-\sqrt[\cancel{2}]{y^\cancel{2}}} = \frac{10+10\sqrt{y}}{1-y} \\ \displaystyle $

Exemplo III
$\displaystyle \frac{1}{3+\sqrt{2z}} \Rightarrow \frac{1}{3+\sqrt{2z}} \cdot \frac{3-\sqrt{2z}}{3-\sqrt{2z}} = \frac{3-\sqrt{2z}}{(3)^2 - (\sqrt{2z})^2} = \frac{3-\sqrt{2z}}{9 - \sqrt[\cancel{2}]{(2z)^\cancel{2}}} = \frac{3-\sqrt{2z}}{9 - 2z} \\ \displaystyle \frac{1}{3+\sqrt{2z}} = \frac{3-\sqrt{2z}}{9 - 2z} $