Encontrar a raiz de um número x é encontrar um número y, tal que, $y^2=x$ $$ \sqrt[n]{x} = y \Longleftrightarrow y^n = x $$ onde
$\sqrt{}$ = radical
$n$ = índice ou expoente
$x$ = radicando
$y$ = raiz

O número 2 é omitido do expoente da raiz, ou seja, quando uma raiz não houver expoente, o expoente é 2.
Uma raiz sem expoente ou com expoente 2 represetna uma raiz quadrada.

Exemplo I
$\sqrt{4}=\sqrt[2]{4}=2$, pois $2^2=4$

Exemplo II
$\sqrt{9}=\sqrt[2]{9}=3$, pois $3^2=9$

Exemplo III
$\sqrt{16}=\sqrt[2]{16}=4$, pois $4^2=16$

Qualquer outra raiz possui a necessidade de um expoente expresso

Exemplo IV
$\sqrt[3]{8}=2$, pois $2^3=8$

Exemplo IV
$\sqrt[4]{91}=3$, pois $3^4=91$

Exemplo V
$\sqrt[1]{5}=5$, pois $5^1=5$

Para determinar a raiz de um número é necessário fatorar esse número e o representar em fatores primos. Os elementos que possuírem o mesmo expoente que a raiz, sai de dentro da raiz sem o expoente.

Exemplo VI
$\require{cancel} \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3}= \sqrt[\cancel{3}]{2^{\cancel{3}}}=2$

Exemplo VII
$\sqrt{91} =\sqrt[2]{91} = \sqrt[2]{3^4}=\sqrt[2]{3^2 \cdot 3^2}=\sqrt[\cancel{2}]{3^\cancel{2} \cdot 3^\cancel{2}}= 3 \cdot 3= 9$

Exemplo VIII
$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3}=\sqrt[\cancel{3}]{3^\cancel{3}}= 3 $

Há raizes que não podem ser expressas por números naturais, mas podem sem expresssos por números reais. Geralmente, para facilitar cálculos e obter um valor mais exato sem problemas com arredondamentos, quando uma raiz não pode ser expressada por um número natura, ela é expressa em forma de raiz mesmo.

Exemplo IX
$\sqrt{2} \approx 1,4142135...$.
Na calculadora e em diversos ramos da ciência, não é recomendado o uso desse número quebrado e arredondado, portanta, esse número fica em forma de raiz mesmo.

Exemplo X
$\sqrt{20}$

É possível descrever esse número de uma forma simplificada fatorando o número de dentro da raiz.

$\sqrt{20} = \sqrt[2]{20} =\sqrt{2^2 \cdot 5} $

O número 2 possui o mesmo expoente que a raiz, portanto, ele sai. O número 5 não, então ele continua dentro da raiz.

$\sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $

Diz-se então que a raiz quadrada de 20 é equivalente ao dobro da raiz quadrada de 5.

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5} $

Exemplo XI
$\sqrt{28}$

É possível descrever esse número de uma forma simplificada fatorando o número de dentro da raiz.

$\sqrt{28} =\sqrt[2]{28} = \sqrt[2]{2^2 \cdot 7}$

O número 2 possui o mesmo expoente que a raiz, portanto, ele sai. O número 7 não, então ele continua dentro da raiz.

$\sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7} $

Diz-se então que a raiz quadrada de 28 é equivalente ao dobro da raiz quadrada de 7.

$\sqrt{28} = 2\sqrt{7} $

Propriedade I

Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando. $$ \sqrt[\Large{n}]{a^n}=\sqrt[\cancel{n}]{a^\cancel{n}}=a$$

Exemplo I
$\sqrt{25}=\sqrt[2]{25}=\sqrt[2]{5^2}=\sqrt[\cancel{2}]{5^\cancel{2}}= 5$

Exemplo II
$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[\cancel{3}]{3^\cancel{3}}=3 $

Exemplo III
$\sqrt[3]{91}=\sqrt[3]{3^4}=\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=\sqrt[\cancel{3}]{3^\cancel{3} \cdot 3}=3\sqrt[3]{3}$

Propriedade II

A raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor. $$\sqrt[{\Large{n \cdot p}}]{a^{m \cdot p}} = \sqrt[n]{a^m} $$ $$\sqrt[{\Large{n \div p}}]{a^{m \div p}} = \sqrt[n]{a^m} $$

Exemplo I
$\sqrt[4]{25}=\sqrt[4]{5^2}=\sqrt[4\div 2]{5^{2\div 2}}=\sqrt[2]{5^{1}}=\sqrt{5} \\ \sqrt[4]{25}= \sqrt{5}$

Exemplo II
$\sqrt{2}=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt[{2 \cdot 3}]{2^{1 \cdot 3}}=\sqrt[6]{2^{3}}=\sqrt[6]{8} \\ \sqrt{2}=\sqrt[6]{8} $

Exemplo III
$\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[{3 \cdot 2}]{3^{2 \cdot 2}}=\sqrt[6]{3^{4}}=\sqrt[6]{81} \\ \sqrt[3]{9}=\sqrt[6]{81} $

Propriedade III

O produto de radicais de mesmo índice é igual ao produto de radicandos. $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$

Exemplo I
$\sqrt{6}=\sqrt{2 \cdot 3}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$

Exemplo II
$\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 5}=\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5}$

Exemplo III
$\sqrt[4]{12}=\sqrt[4]{2^2 \cdot 3}=\sqrt[4]{2^2}\cdot\sqrt[4]{3}=\sqrt[{4\div 2}]{2^{2\div 2}}\cdot\sqrt[4]{3}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3} $

Propriedade IV

O quociente de radicais de mesmo índice é igual ao quociente de radicandos.

$$ \displaystyle \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $$

Exemplo I
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{\sqrt[3]{8}} $

Exemplo II
$\displaystyle \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt[2]{5^2}}{\sqrt[2]{4^2}} = \frac{\sqrt[\cancel{2}]{5^\cancel{2}}}{\sqrt[\cancel{2}]{4^\cancel{2}}} = \frac{5}{4} $

Exemplo III
$\displaystyle \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = \sqrt[2]{3^2} =\sqrt[\cancel{2}]{3^\cancel{2}} = 3$

Radiciação e exponenciação

Uma raiz pode ser expressa por um número elevado à uma potência. $$\displaystyle \displaystyle \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{\large{m}}{\large{n}}}$$

Exemplo I
$\sqrt{2} =\sqrt[2]{2^1} = 2^{\frac{1}{2}} $

Exemplo II
$\sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{2}{3}} $

Exemplo III
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{13}} = \frac{1}{\sqrt[3]{13^1}} = \frac{1}{13^{\frac{1}{3}}} = 13^{-\frac{1}{3}} $