Definição

A exponenciação pode ser considerada como o produto consecutivo de um mesmo fator.
Um número x com um expoente n representa o produto de x n vezes. $$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot \dots \cdot x }_\text{n vezes} $$

Exemplo I
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Exemplo II
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Exemplo III
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 91$

Quando um número negativo for elevado à algum expoente, a regra de sinais deve ser considerada

Exemplo IV
$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

Exemplo IV
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Exemplo V
$(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$

Cuidado com os sinais, pois $-2^2 \neq (-2)^2$
No primeiro caso, o número procurado é o oposto de $2^2$, então, $-2^2 = - (2^2) = -(2 \cdot 2) = -4$
No segundo caso, o número procurado é o número $(-2)$ elevado a $2$, então $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

Um número estiver elevado à uma potência negativa é a mesma coisa que o inverso desse número elevado ao oposto dessa potencia.

Exemplo VI
$\displaystyle 2^{-5} = \frac {1}{2^5} = \frac {1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac {1}{32} $

Exemplo VII
$\displaystyle 3^{-2} = \frac {1}{3^2} = \frac {1}{3 \cdot 3} = \frac {1}{9} $

Exemplo VIII
$\displaystyle 4^{-3} = \frac {1}{4^3} = \frac {1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac {1}{64} $

Quando um número não possui nenhum número representado no expoente, seu expoente é 1.
$x$ = $x^1$ = x elevado à um
$x^2$ = x elevado ao quadrado
$x^3$ = x elevado ao cubo
$x^4$ = x elevado à quatro, ou , x elevado à quarta potência
$x^n$ = x elevado à n, ou , x elevado à n-ésima potência

Propriedade I

Se uma base $x$ elevada a um expoente $m$ for elevada a um expoente $n$, então, essa base pdoe ser representada com o expoente $m \cdot n$ $$(x^m)^n=x^{m \cdot n}$$

Exemplo I
$(x^2)^2=x^{2 \cdot 2}=x^4$

Exemplo II
$(y^5)^2=x^{5 \cdot 2}=y^{10}$

Exemplo III
$(z^{-1})^4=x^{-1 \cdot 4} = z^{-4}$

Propriedade II

Elevar um produto de dois fatores $x$ e $y$ a um expoente $m$ é o mesmo que realizar o produto entre $x^m$ e $y^m$. $$(y \cdot x)^m=y^m \cdot x^m$$

Exemplo I
$(x \cdot y)^2=x^2 \cdot y^2$

Exemplo II
$(y \cdot z)^5=y^5 \cdot z^5$

Exemplo III
$(z \cdot x)^{-3}=z^{-3} \cdot x^{-3}$

Propriedade III

Elevar um quociente onde o denominador é $x$ e o denominador é $y$ e diferente de zero a um expoente $m$ é o mesmo que realizar o quociente entre $x^m$ e $y^m$. $$\displaystyle \left( {\frac {x}{y}} \right)^m =\frac {x^m}{y^m} $$

Exemplo I
$\displaystyle \left( {\frac {x}{y}} \right)^2 =\frac {x^2}{y^2}$

Exemplo II
$\displaystyle \left( {\frac {y}{z}} \right)^5 =\frac {y^5}{z^5}$

Exemplo III
$\displaystyle \left( {\frac {z}{x}} \right)^4 =\frac {z^4}{x^4}$

Propriedade IV

No produto de fatores de mesma base, somam-se os expoentes. $$x^m \cdot x^n=x^{m + n}$$

Exemplo I
$x^2 \cdot x^3=x^{2 + 3} = x^5$

Exemplo II
$y^4 \cdot y^2=y^{4 + 2} = y^6$

Exemplo III
$z^2 \cdot z=z^2 \cdot z^1=z^{2 + 1} = z^3$

Propriedade V

No quociente de números de mesma base (diferente de zero), subtraem-se os expoentes. $$\displaystyle {\frac {x^m}{x^n}} = x^{m-n} $$

Exemplo I
$\displaystyle {\frac {x^2}{x^4}} = x^{2-4}=x^{-2}$

Exemplo II
$\displaystyle {\frac {y^5}{y^2}} = y^{5-2}=y^3$

Exemplo III
$\displaystyle {\frac {z^7}{z^6}} = z^{7-6}=z^1=z$

Propriedade VI

Todo número diferente de zero elevado à zero é igual a 1. $$\displaystyle x^0 = 1, \ \forall x \neq 0$$

Exemplo I
$x^0 = 1$
com $x$ diferente de zero.

Exemplo II
$z^0 = 1$
com $z$ diferente de zero.

Exemplo III
$y^0 = 1$
com $y$ diferente de zero.

Propriedade VI

Todo número elevado à um é igual a si mesmo. $$\displaystyle x^1 = x$$

Exemplo I
$x^1=x$

Exemplo II
$y^1=y$

Exemplo III
$z^1=z$