Fator em evidência

Fatorar uma expressão colocando em evidência algum termo é o mesmo que procurar um fator em comum em dois ou mais termos e representá-los na forma de produto

Exemplo I
$5xy+3xz$

Nessa expressão, a incógnita $x$ aparece em mais de um elemento, então, podemos colocar o $x$ em evidência em forma de produto. Para isso, a incógnita $x$ multiplica os dois termos e, cada termo é dividido por $x$.
$5xy+3xz \\ \displaystyle x \cdot \left( \frac{5xy}{x}+\frac{3xz}{x} \right)$

Utilizando as propriedades de exponenciação, simplifica-se as frações em função da incógnita $y$.
$\displaystyle x \cdot \left( \frac{5xy}{x}+\frac{3xz}{x} \right) \\ x \cdot (5x^{1-1}y+3x^{1-1}z ) \\ x \cdot (5x^{0}y+3x^{0}z ) \\ x \cdot (5 \cdot 1 \cdot y+3 \cdot 1 \cdot z ) \\ x \cdot (5y+3z )$

Exemplo II
$12x^{2}yz+3xy$

Nessa expressão, a incógnita $xy$ aparece nos dois termos e os números $12$ e $3$ compartilham fatores em comum, então, é possível colocar o $xy$ em evidência em forma de produto junto com o fator em comum, que no caso é $3$. Para isso, $3xy$ multiplica os dois termos e, cada termo é dividido por $3xy$.
$12x^{2}yz+3xy \\ \displaystyle 3xy \cdot \left( \frac{12x^{2}yz}{3xy}+\frac{3xy}{3xy} \right)$

As frações serão simplificadas em função dos números $12$ e $3$, divindindo-os por $3$
$\displaystyle 3xy \cdot \left( \frac{12x^{2}yz}{3xy}+\frac{3xy}{3xy} \right) \\ \displaystyle 3xy \cdot \left( \frac{4x^{2}yz}{xy}+\frac{1xy}{xy} \right) \\ \displaystyle 3xy \cdot \left( \frac{4x^{2}yz}{xy}+\frac{xy}{xy} \right)$

Utilizando as propriedades de exponenciação, simplifica-se as frações em função das incógnitas $xy$.
$\displaystyle 3xy \cdot \left( \frac{4x^{2}yz}{xy}+\frac{xy}{xy} \right) \\ 3xy \cdot ( 4x^{2-1}y^{1-1}z+x^{1-1}y^{1-1}) \\ 3xy \cdot ( 4x^{1}y^{0}z+x^{0}y^{0}) \\ 3xy \cdot ( 4x \cdot 1 \cdot z + 1\cdot 1) \\ 3xy \cdot ( 4xz + 1)$

Exemplo III
$13x+2yz+5yz^2$

Nessa expressão, a incógnita $y$ aparece em dois termos apenas, então é possível colocar o $y$ em evidência em forma de produto apenas em relação à esses dois termos. Para isso, $y$ multiplica os dois termos e, cada elemento é dividido por $y$.
$13x+2yz+5yz^2 \\ \displaystyle 13x+y \cdot \left( \frac{2yz}{y}+\frac{5yz^2}{y} \right)$

Utilizando as propriedades de exponenciação, simplifica-se as frações em função da incógnita $y$.
$\displaystyle 13x+y \cdot \left( \frac{2yz}{y}+\frac{5yz^2}{y} \right) \\ 13x+y \cdot ( 2y^{1-1}z+5y^{1-1}z^2 ) \\ 13x+y \cdot ( 2y^{0}z+5y^{0}z^2 ) \\ 13x+y \cdot ( 2 \cdot 1 \cdot z+5 \cdot 1 \cdot z^2 ) \\ 13x+y \cdot ( 2z+5z^2 )$

Fator agrupado

Para que se aplique a fatoração por agrupamento, é necessário colocar uma ou mais incógnitas em evidência e depois colocar um ou mais termos em evidência.

Exemplo I
$6xy - 4x +9y-6$

Coloca-se a incógnita $x$ em evidência (em relação aos termos que contém a incógnita $x$).
$6xy - 4x +9y-6 \\ x \cdot \displaystyle \left(\frac{6xy}{x} - \frac{4x}{x}\right) + 9y-6\\ x \cdot (6 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1) + 9y-6\\ x \cdot (6y - 4) + 9y-6$

Os dois últimos termos são divisíveis por $3$, então coloca-se o $3$ em evidência (em relação aos dois últimos termos).
$x \cdot (6y - 4) + 9y-6 \\ x \cdot (6y - 4) + 3 \cdot \displaystyle \left( \frac{9y}{3}-\frac{6}{3} \right) \\ x \cdot (6y - 4) + 3 \cdot (3y-2)$

Os elementos do primeiro termo são divisíveis por $2$, então coloca-se o $2$ em evidência (em relação aos dois elementos do primeiro termo).
$x \cdot (6y - 4) + 3 \cdot (3y-2) \\ 2x \cdot \displaystyle \left( \frac{6y}{2} - \frac{4}{2} \right) + 3 \cdot (3y-2) \\ 2x \cdot ( 3y - 2 ) + 3 \cdot (3y-2)$

Há apenas dois termos e, ambos, possuem o mesmo elemento $(3y-2)$, então coloca-se o $(3y-2)$ em evidência (em relação aos dois termos).
$2x \cdot ( 3y - 2 ) + 3 \cdot (3y-2) \\ ( 3y - 2 ) \cdot \displaystyle \left[ \frac{2x \cdot ( 3y - 2 )}{(3y-2)} + \frac{3 \cdot (3y-2)}{(3y-2)} \right]\\ ( 3y - 2 ) \cdot (2x \cdot 1 + 3 \cdot 1 )\\ ( 3y - 2 ) \cdot (2x + 3)$

Exemplo II
$kw + 2k +w +2$

Coloca-se a incógnita $w$ em evidência (em relação aos termos que contém a incógnita $w$).
$kw + 2k +w +2 \\ w \cdot \displaystyle \left(\frac{kw}{w} +\frac{w}{w}\right) + 2k +2\\ w \cdot (k \cdot 1 + 1) + 2k +2\\ w \cdot (k +1) + 2k +2$

Os dois últimos termos são divisíveis por $2$, então coloca-se o $2$ em evidência (em relação aos dois últimos termos).
$w \cdot (k +1) + 2k +2 \\ w \cdot (k +1) + 2 \cdot \displaystyle \left( \frac{2k}{2}+\frac{2}{2} \right) \\ w \cdot (k +1) + 2 \cdot (1k+1) \\ w \cdot (k+1) + 2 \cdot (k+1)$

Há apenas dois termos e, ambos, possuem o mesmo elemento $(k+1)$, então coloca-se o $(k+1)$ em evidência (em relação aos dois termos).
$w \cdot (k+1) + 2 \cdot (k+1) \\ (k+1) \cdot \displaystyle \left[ \frac{w \cdot (k+1)}{(k+1)} + \frac{2 \cdot (k+1)}{(k+1)} \right]\\ (k+1) \cdot (w \cdot 1 + 2 \cdot 1)\\ (k+1) \cdot (w + 2)$

Exemplo III
$rz-r+4z-4$

Coloca-se a incógnita $z$ em evidência (em relação aos termos que contém a incógnita $z$).
$rz-r+4z-4 \\ r \cdot \displaystyle \left( \frac{rz}{r}-\frac{r}{r} \right) +4z-4 \\ r \cdot (1 \cdot z-1)+4z-4 \\ r \cdot (z-1)+4z-4$

Os dois últimos termos são divisíveis por $4$, então coloca-se o $4$ em evidência (em relação aos dois últimos termos).
$r \cdot (z-1)+4z-4 \\ r \cdot (z-1)+4 \cdot \displaystyle \left( \frac{4z}{4}-\frac{4}{4} \right) \\ r \cdot (z-1)+4 \cdot (1 \cdot z-1) \\ r \cdot (z-1)+4 \cdot (z-1)$

Há apenas dois termos e, ambos, possuem o mesmo elemento $(z-1)$, então coloca-se o $(z-1)$ em evidência (em relação aos dois termos).
$r \cdot (z-1) + 4 \cdot (z-1) \\ (z-1) \cdot \displaystyle \left[ \frac{r \cdot (z-1)}{(z-1)} + \frac{4 \cdot (z-1)}{(z-1)} \right]\\ (z-1) \cdot (r \cdot 1 + 4 \cdot 1)\\ (z-1) \cdot (r + 4)$