Com o conhecimento desta característica é possível poupar passos na aplicação de distributivas e ainda auxilia na fatoração de expressões.
Diferença de quadrados
A diferença entre dois termos ao quadrado corresponde ao produto entre soma dos termos e a subtração dos termos.
$$ a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$$
Exemplo I
$16x^2-9 = (4x+3)\cdot (4x-3)$
Exemplo II
$4k^2-49z^2 = (2k+7z)\cdot (2k-7z)$
Exemplo III
$25x^2y^4-36z^2 = (5xy^2+6z)\cdot (5xy^2-6z)$
Quadrado perfeito - soma
O quadrado da soma de dois termos corresponde a soma do quadrado do primeiro termo com o dobro do produto dos termos e o quadrado do segundo termo.
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Exemplo I
$ (2x+y)^2 \\
= (2x)^2 + 2 \cdot (2x \cdot y) + (y)^2 \\
= 4x^2 + 4xy+ y^2$
Exemplo II
$ (3+k)^2 \\
= (3)^2 + 2 \cdot (3 \cdot k) + (k)^2 \\
= 9 + 6k+ k^2$
Exemplo III
$ (4r+2w)^2 \\
= (4r)^2 + 2 \cdot (4r \cdot 2w) + (2w)^2 \\
= 16r^2 + 16rw+ 4w^2$
Quadrado perfeito - subtração
O quadrado da subtração de dois termos corresponde a soma do quadrado do primeiro termo com a subtração do dobro do produto dos termos e a soma do quadrado do segundo termo.
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Exemplo I
$ (3y-x)^2 \\
= (3y)^2 - 2 \cdot (3y \cdot x) + (x)^2 \\
= 9x^2 - 6yx+ x^2$
Exemplo II
$ (2xt-5)^2 \\
= (2xt)^2 - 2 \cdot (2xt \cdot 5) + (5)^2 \\
= 4x^2t^2 - 20xt+ 25$
Exemplo III
$ (4z-6k)^2 \\
= (4z)^2 - 2 \cdot (4z \cdot 6k) + (6k)^2 \\
= 16z^2 - 48zk+ 36k^2$
Cubo perfeito - soma
O cubo da soma de dois termos corresponde a soma do cubo do primeiro termo com o triplo do produto do quadrado do primeiro termo e o segundo termo, o triplo do produto do primeiro termo e o quadrado do segundo termo e com o cubo do segundo termo.
$$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
Exemplo I
$(2k+4)^3 \\
= (2k)^3+3\cdot (2k)^2 \cdot (4)+3\cdot (2k) \cdot (4)^2+(4)^3 \\
=8k^3+48k^2+96k+64$
Exemplo II
$(2x+3y)^3 \\
= (2x)^3+3\cdot (2x)^2 \cdot (3y)+3\cdot (2x) \cdot (3y)^2+(3y)^3 \\
=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$
Exemplo III
$(2h+wst^2)^3 \\
= (2h)^3+3\cdot (2h)^2 \cdot (wst^2)+3\cdot (2h) \cdot (wst^2)^2+(wst^2)^3 \\
=8h^3+12h^2wst^2+6hw^2s^2t^4+w^3s^3t^6$
Cubo perfeito - subtração
O cubo da subtração de dois termos corresponde a soma do cubo do primeiro termo com a subtração do triplo do produto do quadrado do primeiro termo e o segundo termo somado com o triplo do produto do primeiro termo e o quadrado do segundo termo e com a subtração do cubo do segundo termo.
$$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$
Exemplo I
$(2x+y)^3 \\
= (2x)^3-3\cdot (2x)^2 \cdot (y)+3\cdot (2x) \cdot (y)^2-(y)^3 \\
=8x^3-12x^2+6xy^2-y^3$
Exemplo II
$(3i+kw)^3 \\
= (3i)^3-3\cdot (3i)^2 \cdot (kw)+3\cdot (3i) \cdot (kw)^2-(kw)^3 \\
=27i^{3}-27i^{2}kw+9ik^{2}w^{2}-k^{3}w^{3}$
Exemplo III
$(rp+nt)^3 \\
= (rp)^{3} - 3\cdot (rp)^{2} \cdot (nt) + 3 \cdot (rp) \cdot (nt)^{2} - (nt)^{3} \\
=r^{3}p^{3} - 3r^{2}p^{2}nt + 3rpn^{2}t^{2} - n^{3}t^{3}$