Uma fração é a representação de um número escrito na forma $$\displaystyle \frac{a}{b} $$ onde:
$a$ - representa o numerador. Pode ser qualquer número real
$b$ - representa o denominador. Pode ser qualquer número real diferente de zero

Intuitivamente, pode se considerar $a$ como a quantidade tomadas e $b$ a quantidade em que foi dividido.

Exemplo I
$\displaystyle \frac{1}{5} \Rightarrow$ significa que alguma coisa foi dividida em $5$ partes e apenas $1$ dessas partes foi tomada.

Exemplo II
$\displaystyle \frac{2}{3} \Rightarrow$ significa que alguma coisa foi dividida em $3$ partes e apenas $2$ dessas partes foi tomada.

Exemplo III
$\displaystyle \frac{5}{8} \Rightarrow$ significa que alguma coisa foi dividida em $8$ partes e apenas $5$ dessas partes foi tomada.

Com esse conceito de partes, podemos dizer que todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração.
Todo numero inteiro representa um elemento que foi dividido em apenas uma parte e que essa única parte foi tomada.

Quando se trata de frações, todo número inteiro possui o número 1 como denominador.

Exemplo IV
$ \displaystyle \frac{3}{1}= 3 \Rightarrow $ significa que alguma coisa foi dividida em $1$ parte (ou seja, sequer foi dividada), e tudo todo o resto foi tomado, no caso, $3$

Exemplo V
$ \displaystyle \frac{5}{1}= 5\Rightarrow $ significa que alguma coisa foi dividida em $1$ parte (ou seja, sequer foi dividada), e tudo todo o resto foi tomado, no caso, $5$

Exemplo VI
$ \displaystyle \frac{7}{1}= 7 \Rightarrow $ significa que alguma coisa foi dividida em $1$ parte (ou seja, sequer foi dividada), e tudo todo o resto foi tomado, no caso, $7$

Quando o númerador e o denominador compartilharem ao menos um fator em comum, é possível simplificar essa fração dividindo ambos pelo fator em comum.

Exemplo VII
Na fração $ \displaystyle \frac{4}{10}$, o númerador e o denominador são divisíveis por 2, portanto

$ \displaystyle\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5} $

Se a divisão de ambas frações for realizada obtemos

$ \displaystyle\frac{4}{10} =0,4\\ \ \\ \displaystyle \frac{2}{5}= 0,4 $

Portanto, são iguais.
$ \displaystyle\frac{4}{10} =\frac{2}{5} $

Exemplo VIII
Na fração $ \displaystyle \frac{3}{12}$, o númerador e o denominador são divisíveis por 3, portanto

$ \displaystyle\frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $

Se a divisão de ambas frações for realizada obtemos

$ \displaystyle\frac{3}{12} =0,25 \\ \ \\ \displaystyle \frac{1}{4}= 0,25 $

Portanto, são iguais.
$ \displaystyle\frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Exemplo IX
Na fração $ \displaystyle \frac{20}{25}$, o númerador e o denominador são divisíveis por 5, portanto

$ \displaystyle \frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5} $

Se a divisão de ambas frações for realizada obtemos

$ \displaystyle \frac{20}{25} = 0,8 \\ \ \\ \displaystyle \frac{4}{5}= 0,8 $

Portanto, são iguais.
$ \displaystyle \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Adição de frações

Para realizar a operação da adição entre duas frações é preciso seguir a regra: $$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$

Exemplo I
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{5 + 6}{10} = \frac{11}{10}$

Exemplo II
$\displaystyle \frac{3}{7}+\frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{9 + 28}{21} = \frac{37}{21}$

Exemplo III
$\displaystyle \frac{1}{5}+ 2 =\frac{1}{5}+\frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 5}{5 \cdot 1} = \frac{1 + 10}{5} = \frac{11}{5}$

Subtração de frações

Para realizar a operação da subtração entre duas frações é preciso seguir a seguinte regra: $$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$$

Exemplo I
$\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{15 - 2}{10} = \frac{13}{10}$

Exemplo II
$\displaystyle \frac{2}{5}-\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 - 3 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{14 - 15}{35} = - \frac{1}{35}$

Exemplo III
$\displaystyle \frac{5}{2}-3 = \frac{5}{2}-\frac{3}{1} = \frac{5 \cdot 1 - 3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 6}{2} = - \frac{1}{2}$

Produto de frações

Para realizar o produto de duas frações é preciso seguir a regra: $$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Exemplo I
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$

Exemplo II
$\displaystyle \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$

Exemplo III
$\displaystyle -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3} = -\frac{3}{6} =-\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Divisão de frações

Para realizar o produto de duas frações é preciso seguir a regra: $$\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$ Para determinar a divisão de duas frações basta conservar a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exemplo I
$\displaystyle \frac{1}{2} \div \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$

Exemplo II
$\displaystyle \frac{3}{7} \div \frac{4}{3} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{9}{28}$

Exemplo III
$\displaystyle -\frac{3}{2} \div \frac{1}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 1} = -\frac{9}{2}$