Logaritmo é uma representação de potências escrita na forma: $$ \log_{a} b =x $$ onde:
$a$ representa a base do logaritmo
$b$ representa o logaritmando
$x$ representa o logaritmo de $b$ na base $a$

A relação de representação entre um logaritmo e uma potência é expressa por $$ \log_{a} b =x \Longleftrightarrow a^x=b$$

Exemplo I
$ \log_{5} 25 =2 \Longleftrightarrow 5^2=25$

Exemplo II
$ \log_{2} 8 =3 \Longleftrightarrow 2^3=8$

Exemplo III
$ \log_{3} 243 =5 \Longleftrightarrow 3^5=243$

Há elementos na matemática que são, por vezes, omitidos. Como o expoente dos números elevados à 1 $(x=x^1)$, os denominadores quando o número do denominador é 1 $ \left( \displaystyle y=\frac{y}{1} \right)$ e os expoentes das raízes quadradas $(\sqrt{z}=\sqrt[2]{z})$ por exemplo. Quando se trata de logaritmos, toda vez que o logaritmando for omitido ele corresponderá a 10, e toda vez que o logaritmando corresponder a 10 ele pode ser omitido.

Exemplo IV
$ \log_{10} x =y \Longleftrightarrow \log x =y$

Exemplo V
$ \log_{10} y =z \Longleftrightarrow \log y =z$

Exemplo VI
$ \log z =x \Longleftrightarrow \log_{10} z =x$

Propriedade I

Se o logaritmando for igual a base, o logaritmo será correspondente a 1.
$$ \log_{x} x =1 \Longleftrightarrow x^1=x $$

Exemplo I
$ \log_{10} 10 =1 \Longleftrightarrow 10^1=10 $

Exemplo II
$ \log_{2} 2 =1 \Longleftrightarrow 2^1=2 $

Exemplo III
$ \log_{3} 3 =1 \Longleftrightarrow 3^1=3 $

Propriedade II

Se o logaritmando for igual a 1, o logaritmo será correspondente a 0.
$$ \log_{x} 1 =0 \Longleftrightarrow x^0=1 $$

Exemplo I
$ \log_{2} 1 =0 \Longleftrightarrow 2^0=1 $

Exemplo II
$ \log_{3} 1 =0 \Longleftrightarrow 3^0=1 $

Exemplo III
$ \log_{5} 1 =0 \Longleftrightarrow 5^0=1 $

Propriedade III

O logaritmo do produto de dois fatores $A$ e $B$ com base n é correspondente à soma dos logaritmos de $A$ e de $B$, ambos com base $n$
$$ \log_{n} (A \cdot B) = \log_{n} A + \log_{n} B $$

Exemplo I
$ \log_{2} (4 \cdot 5) = \log_{2} 4 + \log_{2} 5 $

Exemplo II
$ \log_{7} (3 \cdot 7) = \log_{7} 3 + \log_{7} 7 $

Exemplo III
$ \log (12 \cdot 9) = \log 12 + \log 9 $

Propriedade IV

O logaritmo do quociente entre dois números $A$ e $B$ ($B$ diferente de zero) e base n é correspondente à subtração dos logaritmos de $A$ e de $B$, ambos com base $n$
$$\displaystyle \log_{n} \left( \frac{A}{B} \right) = \log_{n} A - \log_{n} B $$

Exemplo I
$\displaystyle \log_{2} \left( \frac{4}{7} \right) = \log_{2} 4 - \log_{2} 7 $

Exemplo II
$\displaystyle \log_{3} \left( \frac{9}{26} \right) = \log_{3} 9 - \log_{3} 26 $

Exemplo III
$\displaystyle \log \left( \frac{100}{11} \right) = \log 100 - \log 11 $

Propriedade V

O logaritmo de um logaritmando $B$ elevado a uma potência $n$ na base $a$ é equivalente a $n$ vezes o logaritmo de $B$ na base $a$
$$ \log_{a} B^{n} = n \cdot \log_{a} B$$

Exemplo I
$ \log_{2} 12^{3} = 3 \cdot \log_{2} 12$

Exemplo II
$ \log_{3} 10^{2} = 2 \cdot \log_{3} 10$

Exemplo III
$ \log 10^{4} = 4 \cdot \log 10$

Propriedade VI

Essa propriedade é a aplicação da propriedade V em logaritmandos escritos na forma de raizes. Se um logaritmando for expresso na forma de raiz, esse logaritmando deve ser escrito na forma de potência e, assim, aplica-se a propriedade V.
$$ \displaystyle \log_{a} (\sqrt[m]{n}) = \log_{a} n^{\frac{1}{m}} = \frac{1}{m} \cdot \log_{a} n$$

Exemplo I
$ \displaystyle \log_{2} (\sqrt[2]{7}) = \log_{2} 7^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 7$

Exemplo II
$ \displaystyle \log_{3} (\sqrt[3]{3^2}) = \log_{3} 3^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \log_{3} 3$

Exemplo III
$ \displaystyle \log (\sqrt[3]{2}) = \log 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \log 2$

Propriedade VII - Mudança de base

Para representar o logaritmo de $B$ na base $a$ em uma base $c$ é necessário realizar o quociente do logaritmo de $B$ na base $c$ e o logaritmo de $a$ na base $c$
$$ \displaystyle \log_{a} B = \frac{\log_{c} B}{\log_{c} {a}} $$

Exemplo I
Mudar a base do logaritmo de 2 para 3
$ \displaystyle \log_{2} 7 = \frac{\log_{3} 7}{\log_{3} {2}} $

Exemplo II
Mudar a base do logaritmo de 5 para 2
$ \displaystyle \log_{5} 19 = \frac{\log_{2} 19}{\log_{2} {5}} $

Exemplo III
Mudar a base do logaritmo de 10 para 11
$ \displaystyle \log 100 = \frac{\log_{5} 100}{\log_{5} {10}} $

Logaritmo natural

Um logaritmo natural é aquele escrito na base $e$.
$e$ é o número de Néper, também conhecido como número de Euler.
$e \approx 2,71828...$

Quando um logaritmo for natural, ao invés de se escrever $\log_{e}$ escreve-se $ln$. Se algum logaritmando possuir $ln$ antes, significa que a base não é um número qualquer, mas sim, o número de Néper. $$ \log_{e} x = \ln x $$

Exemplo I
$ \ln 2 = \log_{e} 2 $

Exemplo II
$ \ln 3 = \log_{e} 3 $

Exemplo III
$ \ln 4 = \log_{e} 4 $

Todas as propriedades de logaritmos se aplicam a logaritmos naturais. Caso haja a necessidade de conversão entre logaritmos e logaritmos naturais, a propriedade VI (mudança de base) pode ser aplicada.

Exemplo IV
Escreva o logaritmo natural de 9 na base 7

$ \displaystyle \ln 9 = \log_{e} 9 = \frac{\log_{7} 9}{\log_{7} e} $

Exemplo V
Expresse o logaritmo natural de 10 na base 3

$ \displaystyle \ln 10 = \log_{e} 10 = \frac{\log_{3} 10}{\log_{3} e} $

Exemplo VI
Represente o logaritmo de $5$ base $10$ como logaritmo natural
$ \displaystyle \log 5 = \frac{\log_{e} 5}{\log_{e} 10} = \frac{\ln 5}{\ln {10}} $